Question

【题目】在四棱柱中，已知底面为等腰梯形，，，M，N分别是棱，的中点

（1）证明：直线平面；

（2）若平面，且，求经过点A，M，N的平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点P，连结，证得，利用线平行的判定定理，即可证得直线平面；

（2）以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）取的中点P，连结，，所以，且，

所以，且，所以是平行四边形，所以，

因为平面，所以直线平面.

（2）连结，

由己知可得，，所以为等边三角形，

所以，，所以，

即，所以，

分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，， 所以，，

可得，，，.

设平面的法向量为，所以，即，取，解得，所以，

设平面的一个法向量为，，即，

取，可得 ，所以，

设平面与平面所成二面角的大小为，

所以，则

所以平面与平面所成二面角的正弦值为.