Question

【题目】已知双曲线经过点，两个焦点为，．

（1）求的方程；

（2）设是上一点，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，为定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析，为定值．

【解析】

（1）由已知可得，点代入方程解方程即可得解，或者利用双曲线的定义求得，即可得双曲线方程；

（2）由（1）可知，根据题意求得，,利用两点间距离公式代入化简即可证得为定值.

解：解法1：（1）由题意，所以，的方程可化为．

因为的方程经过点，所以，解得，或（舍去）．

于是的方程为．

（2）由（1）知直线的方程为．

把，分别代入得：，．

又在上，所以．,

所以．

于是为定值．

解法2：（1）由双曲线定义得

．

所以，因为，所以，于是的方程为．

（2）同解法1．