题目内容

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）= $数学公式$ ．
（1）当n∈N^时，求f（n）的表达式；
（2）设a_n=n•f（n），n∈N^，求证a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2；
（3）设b_n=（9-n） $数学公式$ ，n∈N^*，S_n为b_n的前n项和，当S_n最大时，求n的值．

解：（1）令x=n．y=1，得到f（n+1）=f（n）•f（1）= $\text{[math]}$ f（n），
所以{f（n）}是首项为 $\text{[math]}$ 、公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，即f（n）= $\text{[math]}$ ；
（2）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
两式相减得： $\text{[math]}$ ，
整理得 $\text{[math]}$ ．
（3）∵f（n）= $\text{[math]}$ ，而b_n=（9-n） $\text{[math]}$ ，n∈N^*，则b_n= $\text{[math]}$ ，
当n≤8时，b_n＞0；当n=9时，b_n=0；当n＞9时，b_n＜0；
∴n=8或9时，S_n取到最大值．
分析：（1）由于函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）对任意的实数x，y都成立，故可令x=n，y=1，再由f（1）= $\text{[math]}$ 得到f（n）的表达式；
（2）由（1）知，a_n=n•f（n）= $\text{[math]}$ ，故可用错位相减法求出a₁+a₂+a₃+…+a_n的表达式，即可得证；
（3）由（1）和b_n=（9-n） $\text{[math]}$ ，n∈N^*可求b_n的表达式，进而求出S_n，由于数列为一种特殊函数，故可利用函数单调性得到S_n最大时的n值．
点评：本题主要考查数列求和的错位相减法法、等比数列的前n项和公式，着重考查考生的运算能力．