Question

已知tan²α=2tan²β+1,求证:sin²β=2sin²α-1.

Answer 1

思路分析：条件是用正切表达的α与β的关系，欲证目标是正弦表达的α与β的关系，可用条件tan²β=12(tan²α-1)把tan²βsin²β证出目标，也可找出α与β的关系证出目标.

    证法一：因为tan²α=2tan²β+1,所以tan²β=.

    又sin²β=tan²β·cos²β====

==sin²α-cos²α=2sin²α-1,所以sin²β=2sin²α-1.

    证法二：2sin²α-1=-1=-1=

==sin²β，所以原等式成立.

    证法三：因为tan²α=2tan²β+1,

    所以=+1=.

    所以.

    所sin²α(1-sin²β)=(1-sin²α)(1+sin²β).

    所以sin²β=2sin²α-1.

    证法四：因为tan²α=2tan²β+1,

    所以1+tan²α=2(tan²β+1).

    所以sec²α=2sec²β.

    所以2cos²α=cos²β.

    所以2(1-sin²α)=1-sin²β.

    所以sin²β=2sin²α-1.