Question

【题目】已知双曲线： 的离心率， 、为其左右焦点，点在上，且， ， 是坐标原点．

（1）求双曲线的方程；

（2）过的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题（1）先由离心率得出的关系，再由与求得，从而求得双曲线方程；（2）先得出的坐标，再分直线的斜率是否存在讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，然后联立双曲线方程，利用韦达定理即可求得的取值范围．

试题解析：（1）由，得， ，

故双曲线的方程为，即 ．

由，得， ．

又， ，∴

∴双曲线的方程为．

（2）由（1）知点的坐标分别为．

当直线的斜率不存在时，得；

当直线的斜率存在时，设其方程为，并设，

由，得，依题意知，

∴，

将， 代入上式化简得：

，由及，得或．

综上可知的取值范围是．