题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，长度为3的线段
的端点
、
分别在
，
轴上滑动，点
在线段上，且
，
（1）若点的轨迹为曲线
，求其方程；
（2）过点
的直线
与曲线交于不同两点
、
，
是曲线上不同于、的动点，求
面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
(1)求轨迹问题可用相关点法得到轨迹方程；
（2）设出直线方程，直曲联立，得到一元二次方程，通过韦达定理表示出面积函数，从而求导求最值即可得到答案.
解：（1）由题知
，设
，
，
有
代入
得，
所以曲线
的方程是
（2）当直线的斜率不存在时，即
：
，此时
当直线的斜率存在时，设：
，
，
，
联立
，有
，
由题知过
的直线
，且
与椭圆切于点时，
最大，故设:
联立与椭圆方程得
，此时
与的距离
，所以
化简
设
，
，有
，所以函数
在
上单调递减，当
时，函数取得最大值
，即
时
，
综上所述
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