Question

【题目】在正方体中，、分别为、的中点，，，如图.

（1）若交平面于点，证明：、、三点共线；

（2）线段上是否存在点，使得平面平面，若存在确定的位置，若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且.

【解析】

（1）先得出为平面与平面的交线，然后说明点是平面与平面的公共点，即可得出、、三点共线；

（2）设，过点作交于点，然后证明出平面平面，再确定出点在上的位置即可.

（1），平面，平面，所以，点是平面和平面的一个公共点，同理可知，点也是平面和平面的公共点，则平面和平面的交线为，

平面，平面，所以，点也是平面和平面的公共点，由公理三可知，，因此，、、三点共线；

（2）如下图所示：

设，过点作交于点，

下面证明平面平面.

、分别为、的中点，，

平面，平面，平面.

又，平面，平面，平面，

，、平面，因此，平面平面.

下面来确定点的位置：

、分别为、的中点，所以，，且，则点为的中点，

易知，即，又，所以，四边形为平行四边形，，

四边形为正方形，且，则为的中点，所以，点为的中点，，

因此，线段上是否存在点，且时，平面平面.