Question

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼，设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ。

（I）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数。
（II）若R=45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（精确到0.01m²）。

Answer 1

解：（I）由题意可知，点M为的中点，所以OM⊥AD
设OM于BC的交点为F，
则BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ

所以S=AB·BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R²（2sinθcosθ-2sin2θ）=R²（sin2θ-1+cos2θ）=，。
（II）因为，则
所以当，即时，S有最大值=
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m²。