题目内容
【题目】已知圆锥的顶点为
，底面圆心为
，母线长为
，
，
、
是底面半径，且：
，
为线段
的中点，
为线段
的中点，如图所示：
（1）求圆锥的表面积；
（2）求异面直线
和所成的角的大小，并求
、两点在圆锥侧面上的最短距离.
【答案】（1）
；（2）
、
夹角为
，最短距离为
【解析】
（1）由
求得底面圆半径，根据圆锥表面积公式可求得结果；
（2）作
，根据异面直线所成角定义可知所成角为
；根据向量数量积为零可知
，进而得到
，根据线面垂直性质知
，得到线面垂直关系
平面
，由线面垂直性质得
，根据长度关系可求得
，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得
，由余弦定理可求得结果.
（1）由题意得：底面圆半径
圆锥表面积
（2）作，交
于
，连接
异面直线与所成角即为与
所成角，即
，又 
平面
，
平面 
平面，
平面
又
平面 
为
中点， 
为
中点
，
即异面直线与所成角大小为
由
得：
，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为
圆锥侧面展开图如下图所示：
为
中点 
在
中，由余弦定理可得：
，即
两点在圆锥侧面上的最短距离为
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