题目内容
11．设f（x）=$\frac{{x-\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}x+1}}$，且满足fn（x）=f（fn-1（x）），n∈N*，若f0（x）=f（x），则f2015（0）=（ ）| A． | 0 | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $-\sqrt{3}$ | D． | 2015 |
分析 由题意，可先求出f1（x），f2（x），f3（x）…，归纳出fn+3（x）=fn（x），即可得出f2015（x）的表达式，进而得到f2015（0）=0．
解答 解：f0（x）=f（x）=$\frac{{x-\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}x+1}}$，
f1（x）=f（f（x））=$\frac{\frac{x-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}x}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}•\frac{x-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}x}}$=$\frac{x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}x}$，
f2（x）=f（f1（x））=$\frac{\frac{x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}x}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}•\frac{x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}x}}$=x，
f3（x）=f（f2（x））=f（x）=f0（x），
f4（x））=f（f3（x））=f1（x），
…，
则fn+3（x）=fn（x），
故f2015（x）=f3×671+2（x）=f2（x）=x，
则f2015（0）=0．
故选A．
点评 本题考查函数的性质，考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是解题的关键．
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| A． | 1 | B． | 1+$\frac{1}{2}$ | C． | 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$ | D． | 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$ |