Question

【题目】如图1，在直角梯形中，，，，，，为上一点，且，过作交于，现将沿折到，使，如图2.

（1）求证：平面

（2）在线段上是否存在一点，使与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析

【解析】

(1)解法一:由,,推出平面,即有平面,故,结合即可推出平面;解法二:建立空间直角坐标系,利用向量推出结论;

(2)由(1)知平面,故以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,在平面内过作的垂线,以垂线所在直线为轴,建立空间直角坐标系,设是线段上一点,则存在,使,再利用向量,结合线面角公式列式求解即可.

(1)解法一:

∵,,,

由余弦定理得,

∵,∴,

又直角梯形中,,

∴,,,

则平面,

又∵,∴平面,∴,

又因为直线,在平面内,且相交于,∴平面.

解法二:

以为,,且,

则平面,所以平面平面,

以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,在平面内过作

的垂线,以垂线所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:

则,,,,

∴,,,

∴,,

∴,

∴,,

∵,是平面内的相交直线,

∴平面.

(2)由(1)知平面,∴平面平面,

以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,在平面内过作的垂线,以垂线所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:

则,,,,

则,,

∵平面,∴平面的一个法向量为,

设是线段上一点,则存在,使,

∴,

,

如果直线与平面所成的角为,

那么,即,

解得,此方程在内无解,

所以在线段上不存在一点,使与平在所成的角为.