Question

【题目】椭圆的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线与椭圆相交于、两点，设直线、、的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，

（1）求椭圆的方程；

（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？

Answer 1

【答案】（1）（2）是，是定值为5；

【解析】

（1）由题得方程组：解得，即可得椭圆方程；

（2）联立，消元得：；由、、且恰好构成等比数列，得到：，代入求得：，最后算出，代入化简即可得结果.

解：（1）由题意可知，且，

所以椭圆的方程为

（2）依题意，直线斜率存在且，设直线的方程为，、

由

因为、、且恰好构成等比数列，

所以 ，

即；

所以.

此时

得，且（否则：，则，中至少有一个为0，一直线、中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）

所以；

所以

所以是定值为5；