Question

【题目】如图是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图是半径上一点，是圆弧上一点，且.现在线段，线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每千米为元，线段及圆弧处每千米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为元．

(1)求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

(2)试问：为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，广告位出租的总收入最大，最大值为元.

【解析】

（1）根据题意，利用正弦定理求得OC的值，再求弧长DB，求出函数y的解析式，写出x的取值范围；

（2）求函数y的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x的值．

(1)因为，所以.

在中，，，.

由正弦定理，得，

得，.

又圆弧长为，

所以

.

(2)记，

则，

令，得.

当变化时，，的变化如下表：

所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值，即.

故当时，广告位出租的总收入最大，最大值为元．