在平面直角坐标系中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$(t为参数$α∈[0.\frac{π}{2}$)∪.以原点为极点.以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数$α∈[0，\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}，π$）），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若曲线C与直线交于A，B两点，且|AB|=$\sqrt{6}$，求tanα的值．

分析（1）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，消去参数t得y=（x+1）tanα．曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），展开得ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）由圆C的圆心为C（1，1），半径r=$\sqrt{2}$．利用点到直线的距离公式和弦长公式可得：圆心到直线l的距离d=$\frac{|2tanα-1|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$=$\sqrt{2-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$，化简解出即可．

解答解：（1）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，消去参数t得y=（x+1）tanα．
曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），展开得ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，化为直角坐标方程得x²+y²-2x-2y=0，即（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）∵圆C的圆心为C（1，1），半径r=$\sqrt{2}$．
则圆心到直线l的距离d=$\frac{|2tanα-1|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$=$\sqrt{2-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化简得7tan²α-8tanα+1=0，解之得tanα=1或tanα=$\frac{1}{7}$．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、弦长公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．