题目内容

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-2x2+3m，x∈[0，+∞），若f（x）+5≥0恒成立，则实数m的取值范围是$\frac{17}{9}$．

分析 要找m的取值使f（x）+5≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，即可求出m的取值范围．

解答 解：因为函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-2x2+3m，所以f′（x）=x2-4x．
令f′（x）=0得x=0或x=4，
经检验知x=4是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（4）=3m-$\frac{32}{3}$．
不等式f（x）+5≥0恒成立，即3m-$\frac{32}{3}$+5≥0恒成立，
解得m≥$\frac{17}{9}$．
故答案为：$\frac{17}{9}$．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题．

练习册系列答案
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17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a6=S3=6
（1）求an和Sn
（2）数列{bn}满足bn=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{2n-1}-λ{S}_{2n-3，}n≥2}\end{array}\right.$，若b1，b2，b5成等比数列，求实数λ的值．
18．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数$α∈[0，\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}，π$）），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）
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15．已知tanα=2，求$\frac{sin（α+\frac{π}{3}）}{cos（α-\frac{π}{4}）}$的值．
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16．已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+2-4．
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（2）设bn=•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．设f（x）=ex（ax2-7x+13），其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与直线l′：2ex-y+e=0平行．
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（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

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