Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{x}$在x=$\frac{1}{4}$处的切线为l，直线g（x）=kx+$\frac{9}{4}$与l平行，求f（x）的图象上的点到直线g（x）的最短距离．

Answer 1

分析 求得函数的导数，求得切线的斜率和切点T，可得g（x）的解析式，再由点到直线的距离公式计算可得最小值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
在x=$\frac{1}{4}$处的切线斜率为k=1，
则直线g（x）=x+$\frac{9}{4}$，
由切线的切点T（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
由T到直线的距离为d=$\frac{|\frac{1}{4}+\frac{9}{4}-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
即有f（x）的图象上的点到直线g（x）的最短距离为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．