Question

6．设空间四边形ABCD，E，F，G，H分别是AC，BC，DB，DA的中点，若AB=12$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{2}$，且四边形EFGH的面积为12$\sqrt{3}$，求AB和CD所成的角．

Answer 1

分析 找出异面直线所成角，通过四边形的面积求解即可．

解答 解：空间四边形ABCD，E，F，G，H分别是AC，BC，DB，DA的中点，则四边形EFGH是平行四边形，
AB和CD所成的角就是∠EFG或其补角．
AB=12$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{2}$，则EF=$6\sqrt{2}$，FG=2$\sqrt{2}$，
四边形EFGH的面积为12$\sqrt{3}$，
可得EF•FGsin∠EFG=12$\sqrt{3}$，可得sin∠EFG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则∠EFG=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
AB和CD所成的角为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，平行四边形的面积的应用，考查空间想象能力以及计算能力．