Question

3．函数y=$\frac{{x}^{2}-4x+13}{x-1}$（x∈[2，5]）的值域为[2$\sqrt{10}$-2，9]．

Answer 1

分析 首先将函数化为：y=（x-1）+$\frac{10}{x-1}$-2，再用基本不等式和双勾函数的性质求最值．

解答 解：y=f（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+13}{x-1}$=$\frac{（x-1）^2-2（x-1）+10}{x-1}$=（x-1）+$\frac{10}{x-1}$-2，
∵x∈[2，5]，∴x-1∈[1，4]，
根据基本不等式，（x-1）+$\frac{10}{x-1}$≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{10}{x-1}}$=2$\sqrt{10}$，
当且仅当：（x-1）=$\frac{10}{x-1}$，解得x=$\sqrt{10}$+1∈[2，5]，
所以，y_min=2$\sqrt{10}$-2，
再根据双勾函数的性质，y_max=max{f（2），f（5）}，
其中，f（2）=9，f（5）=$\frac{9}{2}$，所以y_max=9，
所以该函数的值域为：[2$\sqrt{10}$-2，9]．
故答案为：[2$\sqrt{10}$-2，9]．

点评 本题主要考查了函数值域的求法，涉及双勾函数的性质，以及运用基本不等式最值，属于中档题．