Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O直径，A（1，3），B（-3，0），C（1，0）．
（1）请在x轴上找一点D，使得△BDA与△BAC相似（不包含全等），并求出点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，如果P，Q分别是BA，BD上的动点，连接PQ，设BP=DQ=m．问是否存在这样的m，使得△BPQ与△BDA相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）根据条件先判断△ABD中，∠BAD为直角，再由三角形相似的性质可得，对应边成比例，即可解得D的坐标；
（2）假设存在这样的m，使得△BPQ与△BDA相似．运用相似的性质对应边成比例，得到m的方程，解得即可判断．

解答： 解：（1）由于△ABC为直角三角形，且C为直角，
则△ABD中，∠BAD为直角，
由△BCA∽△BAD，即有

BC

BA

=

BA

BD

=

CA

AD

，则BD=

BA2

BC

=

25

4

，则D的坐标为（

25

4

-3，0）即（

13

4

，0）；
（2）假设存在这样的m，使得△BPQ与△BDA相似．
则

BP

BD

=

PQ

DA

=

BQ

BA

，
由于BP=DQ=m，则

m

25 4

=

PQ

15 4

=

25 4 -m

5

，解得，m=

125

36

，
PQ=

25

12

，满足BP²=BQ²+PQ²，成立．
故存在这样的m，且m=

125

36

，使得△BPQ与△BDA相似．

点评：本题考查主要考查三角形的相似的判定和性质，考查运算能力，属于中档题．