为评估设备M生产某种零件的性能.从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本.测量其直径后.整理得到下表:直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算.样本的平均值μ=65.标准差=2.2.以频率值作为概率的估计值．(1)为评判一台设备的性能.从该设备加工的零件中任意抽取一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ-σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．
（2）将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品
（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望EY；
（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望EZ．

分析（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；
（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．
（ⅰ）由题意可知Y～B（2，$\frac{6}{100}$），于是EY=2×$\frac{6}{100}$=$\frac{3}{25}$；
（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望EZ．

解答解：（Ⅰ）P（μ-σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，
因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）
（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．
（ⅰ）由题意可知Y～B（2，$\frac{6}{100}$），于是EY=2×$\frac{6}{100}$=$\frac{3}{25}$；…（8分）
（ⅱ）由题意可知Z的分布列为

Z	0	1	2
P	$\frac{{C}_{94}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$	$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{94}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$	$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$

故EZ=0×$\frac{{C}_{94}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$+1×$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{94}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$+2×$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{3}{25}$．…（12分）

点评本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．