Question

5．已知y=4^x+3•2^x+3，当其值域为（3，7]时，函数的定义域为（　　）

• A． [-4，1]
• B． （-3，1]
• C． （0，2）
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 配方得到$y=（{2}^{x}+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$，根据该函数的值域便可得到$\frac{9}{4}＜（{2}^{x}+\frac{3}{2}）^{2}≤\frac{25}{4}$，这样便可解出0＜2^x≤1，从而得出x≤0，这样即求出了该函数的定义域．

解答 解：$y=（{2}^{x}+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$；
∵该函数值域为（3，7]；
∴$3＜（{2}^{x}+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≤7$；
∴$\frac{9}{4}＜（{2}^{x}+\frac{3}{2}）^{2}≤\frac{25}{4}$；
∴$\frac{3}{2}＜{2}^{x}+\frac{3}{2}≤\frac{5}{2}$；
∴0＜2^x≤1；
∴x≤0；
∴该函数的定义域为（-∞，0]．
故选D．

点评 考查函数定义域、值域的概念，指数函数的值域，配方处理二次式子的方法，以及指数函数的单调性．