Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$
（1）判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论．
（2）求出函数f（x）在[-3，-1]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在（-∞，0）上单调递增，利用导数法易证得结论；
（2）由（1）得函数f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在[-3，-1]上单调递增，分别将x=-3和x=-1代入可得函数的最小值和最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在（-∞，0）上单调递增，理由如下：
∵f′（x）=$\frac{-2x}{{（1+{x}^{2}）}^{2}}$，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，
故函数f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在（-∞，0）上单调递增；
（2）由（1）得函数f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在[-3，-1]上单调递增，
故当x=-3时，函数取最小值$\frac{1}{10}$，当x=-1时，函数取最大值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识是，函数的单调性，函数的最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．