Question

20．如图，勘探队员朝一座山行进，在前后两处A，B观察塔尖P及山顶Q，己知A，B，O在同一水平面，P，Q，A，B，O在同一平面且与水平面垂直．
设塔高PQ=h，山高QO=H，AB=m，BO=n，仰角∠PAO=α，仰角∠QAO=β，仰角∠PBO=θ．（Ⅰ）试用m，α，β，θ表示h；
（Ⅱ）设仰角∠QBO=ω，写出（不必说明理由）用m，α，θ，ω表示h的代数式．

Answer 1

分析 （I）在△PAB中使用正弦定理得出h；
（II）根据锐角三角函数的定义用m，n表示出H，H+h，n，即可得出h．

解答 解：（I）在△ABP中，∠APB=∠PBO-∠PAO=θ-α，
由正弦定理得：$\frac{h}{sinα}=\frac{m}{sin（θ-α）}$，
解得h=$\frac{msinα}{sin（θ-α）}$．
（II）连结QB．
∵tanα=$\frac{H+h}{m+n}$，tanθ=$\frac{H+h}{n}$，
∴（m+n）tanα=ntanθ，
∴n=$\frac{mtanα}{tanθ-tanα}$．
∴H+h=ntanθ=$\frac{mtanαtanθ}{tanθ-tanα}$．
又tanω=$\frac{H}{n}$，∴H=ntanω=$\frac{mtanαtanω}{tanθ-tanα}$．
∴h=$\frac{mtanαtanθ}{tanθ-tanα}$-$\frac{mtanαtanω}{tanθ-tanα}$=$\frac{mtanα（tanθ-tanω）}{tanθ-tanα}$．

点评 本题考查了解三角形的应用，属于中档题．