Question

1．已知l₁：ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，l₂：$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t为参数）．
（1）求l₁，l₂交点P的极坐标．
（2）点A、B、C三点在椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1上，O为坐标原点，若有∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，求$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OC}|}^2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由${l_1}：y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$与${l_2}：y=-\sqrt{3}x$联立可得交点坐标，利用互化公式可得P点的极坐标．
（2）设以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入椭圆方程有$\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{4}+{sin^2}θ$，不妨取A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+120°）C（ρ₃，θ-120°），代入利用和差公式、三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：（1）由${l_1}：y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$与${l_2}：y=-\sqrt{3}x$联立，可得交点坐标为$P（-1，\sqrt{3}）$，化为P点的极坐标为$P（2，\frac{2π}{3}）$．
（2）设以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入椭圆方程有$\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{4}+{sin^2}θ$，不妨取A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+120°）C（ρ₃，θ-120°），
则$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OC}|}^2}}}$=$\frac{1}{ρ_1^2}$+$\frac{1}{ρ_2^2}$+$\frac{1}{ρ_3^2}$=$\frac{1}{4}[{cos^2}θ+{cos^2}（θ+{120°}）+{cos^2}（θ-{120°}）]$+[sin²θ+sin²（θ+120°）+sin²（θ-120°）]
=$\frac{1}{4}[{cos^2}θ+\frac{1}{4}{（cosθ+\sqrt{3}sinθ）^2}+\frac{1}{4}{（cosθ-\sqrt{3}sinθ）^2}]$$+{sin^2}θ+\frac{1}{4}{（-sinθ+\sqrt{3}cosθ）^2}+\frac{1}{4}{（sinθ+\sqrt{3}cosθ）^2}]$
=$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标互化公式、直线的交点、和差公式、三角函数基本关系式，考查了推理能力，属于中档题．