Question

若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.

（Ⅰ）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（Ⅱ）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论；

（Ⅲ）证明：，函数都是等比源函数.

Answer 1

解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数.                                

（Ⅱ）函数不是等比源函数.                      

      证明如下：

假设存在正整数且，使得成等比数列，

      ，整理得，    

等式两边同除以得.

      因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，

      所以等式不可能成立，

      所以假设不成立，说明函数不是等比源函数.     

（Ⅲ）法1：

因为，都有，

所以，数列都是以为首项公差为的等差数列.

，成等比数列，

因为，

，

所以，

所以，函数都是等比源函数.

（Ⅲ）法2：

因为，都有，

所以，数列都是以为首项公差为的等差数列.

         由，（其中）可得

         ，整理得

         ，

         令，则，

         所以，

         所以，数列中总存在三项成等比数列.

所以，函数都是等比源函数.