题目内容

对于函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1（x∈R）给出下列命题：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在区间[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]上是减函数；
③直线x= $数学公式$ 是f（x）的图象的一条对称轴；
④f（x）的图象可以由函数y= $数学公式$ sin2x的图象向左平移 $数学公式$ 而得到．
其中正确命题的序号是________（把你认为正确的都填上）．

②③
分析：由于f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），利用正弦函数的性质对①②③④诸项判断即可．
解答：∵f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∴T= $\text{[math]}$ =π，①不对；
由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 得：kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z．当k=0时， $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，
显然，[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]?[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴f（x）在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上是减函数正确，即②正确；
对于③，f（0）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =1，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =1，即f（0）=f（ $\text{[math]}$ ），
故直线x= $\text{[math]}$ 是f（x）的图象的一条对称轴，正确，即③正确；
④，函数y= $\text{[math]}$ sin2x的图象向左平移 $\text{[math]}$ 而得到：y= $\text{[math]}$ sin2（x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ cos2x≠ $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），即④错误．
综上所述，正确命题的序号是②③．
故答案为：②③．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考察正弦函数的周期性、单调性、对称性及化简求值，考查三角函数的综合运用能力，属于中档题．