题目内容

对于函数f（x）=
2
（sin x+cos x），给出下列四个命题：
①存在a∈(-
π
2
，0)，使f（α）=
2
；
②存在α∈(0，
π
2
)，使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
③存在φ∈R，使函数f（x+φ）的图象关于坐标原点成中心对称；
④函数f（x）的图象关于直线x=-
3π
4
对称；
⑤函数f（x）的图象向左平移
π
4
个单位长度就能得到y=-2cos x的图象．
其中正确命题的序号是（　　）
分析：利用辅助角公式，我们可将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，由正弦型函数的值域，可以判断①的真假；根据正弦型函数的周期性，可以判断②的真假；根据正弦函数的对称性，可以判断③④的真假；根据正弦型函数的图象的平移变换法则，及诱导公式，可以判断⑤的真假，进而得到答案．
解答：解：∵f（x）=
2
（sinx+cosx）=2sin（x+
π
4
），
当α∈(-
π
2
，0)，α+
π
4
∈（-
π
4
，
π
4
）此时f（α）∈（-
2
，
2
），故①错误；
若f（x-α）=f（x+α）恒成立，则2α为函数的一个周期，则2α=2kπ，k∈N*，即α=kπ，k∈N*，故②错误；
存在φ=-
π
4
+kπ，k∈Z，使函数f（x+?）的图象关于坐标原点成中心对称，故③正确；
函数图象的对称轴为x=
π
4
+kπ，k∈Z，当k=-1时，x=-
3π
4
，故④正确；
函数f（x）的图象向左平移
π
4
个单位长度得到y=2sin（x+
π
4
+
π
4
）=2sin（x+
π
2
）=2cosx的图象，故⑤错误．
故选：C．
点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的值域，函数y=Asin（ωx+φ）的对称性，熟练掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
对于函数f（x）定义域中任意的x1、x2（x1≠x2）有如下结论：
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）
②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0
④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2

当f（x）=2x时，上述结论中正确结论的序号是
①③④
①③④
．
对于函数f（x）=lg|x-2|+1，有如下三个命题：
①f（x+2）是偶函数；
②f（x）在区间（-∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；
③f（x+2）-f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
其中正确命题的序号是
①，②
①，②
．（将你认为正确的命题序号都填上）
已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）对于函数F（x）及其定义域D，若存在x0∈D，使F（x0）=x0成立，则称x0为F（x）的不动点．若f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，求实数b的取值范围；
（3）若n为正整数，证明：10f(n)•(
4
5
)g(n)＜4．
（参考数据：lg3=0.3010，(
4
5
)9=0.1342，(
4
5
)16=0.0281，(
4
5
)25=0.0038）
给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即 {x}=m．在此基础上有函数f(x)=|x-{x}
.
_  
(x∈
．
（1）求f(4)，f(-
1
2
)，f(-8.3)的值；
（2）对于函数f（x），现给出如下一些判断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②函数y=f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）在区间(-
1
2
，
1
2
]上单调递增；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=k+
1
2
 &(k∈Z)
对称；
请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明；
（3）若-206＜x≤207，试求方程f(x)=
9
23
的所有解的和．

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