Question

对于函数f（x）定义域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）有如下结论：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
③

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
④f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

当f（x）=2^x时，上述结论中正确结论的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：当f（x）=2^x时，对于函数f（x）定义域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）：①f（x₁+x₂）=2x1+x1=2x1•2x2=f（x₁）f（x₂）；②f（x₁•x₂）=2x1•x2≠2x1+2x2=f（x₁）+f（x₂）；③由f（x）=2^x是增函数，知

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；④由x₁≠x₂，知

f(x1) +f(x2)

2

＞

f(x1)f(x 2)

=

2x1•2x2

=2

x1+x2

2

=f(

x1+x2

2

)．

解答：解：当f（x）=2^x时，对于函数f（x）定义域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）：
①f（x₁+x₂）=2x1+x1=2x1•2x2=f（x₁）f（x₂），故①成立；
②f（x₁•x₂）=2x1•x2≠2x1+2x2=f（x₁）+f（x₂），故②不成立；
③∵f（x）=2^x是增函数，∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，故③成立；
④∵x₁≠x₂，
∴

f(x1) +f(x2)

2

＞

f(x1)f(x 2)

=

2x1•2x2

=2

x1+x2

2

=f(

x1+x2

2

)，
∴f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，故④成立．
故答案为：①③④．

点评：本题考查指数函数性质的综合运用，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的合理运用．