Question

【题目】已知函数，其中为常数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当（为自然对数的底数），时，若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）

【解析】

（1）分别在和两种情况下，根据的正负确定的单调性；

（2）将问题转化为当时，与有两个不同交点的问题，通过导数可求得的单调性和最值，进而得到函数图象，通过数形结合的方式可确定的范围.

（1）由题意得：定义域为，，

当时，，则在上单调递减；

当时，令，解得：，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减.

综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，有两个不等实根，方程可化为，

令，则，

令，则，

当时，，即<0在上单调递减，

，且

在上有且仅有一个零点，

当时，，即；当时，，即，

在上单调递增，在上单调递减，

，，

由此可得图象如下图所示：

则当时，方程有两个不等实数根等价于当时，与有两个不同交点，

由图象可知：.