Question

【题目】过抛物线的焦点作直线与抛物线交于点、．

（1）求证：不是直角三角形．

（2）当的斜率为时，抛物线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出所有的点；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）存在4个点，使为直角三角形： ，，，．

【解析】

（1）如图，抛物线的焦点为，

过点且与抛物线交于点、的所有直线可设为，

与抛物线联立．消去得，有．

进而，．

又，得为钝角．

故不是直角三角形．

（2）当直线的方程为时，解方程组，

可得、．

假设抛物线上存在点，使为直角三角形，分三种情况讨论．

（i）为直角．

此时，以为直径的圆的方程为．

把点、、的坐标代入得

．

整理得．

因为点、在圆上，故当时，必为方程的解．

注意到，

故方程可分解为．

异于点、的点必对应方程的解，有，．

故使的点有两个，．

（ii）为直角．

此时，以为直径的圆的方程为．

把点、、的坐标代入得．

整理得．

解得对应点，对应点．

故存在使为直角三角形．

（iii）为直角．

此时，以为直径的圆的方程为．

把点、、的坐标代入得．

整理得．

解得对应点，对应点．

故存在使为直角三角形．

综上知，存在4个点，使为直角三角形：

，，，．