Question

如图所示，O为坐标原点，在y轴上截距为2且斜率为k（k＜0）的直线l与抛物线y²=2x交于M、N两点
（1）求抛物线的焦点F的坐标；
（2）若

OM

•

ON

=0，求直线l的方程；
（3）若点M、N将抛物线分成三段，在含有坐标原点的那一段上求一点P，使得△PMN的面积最大．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的标准方程可直接求出抛物线的焦点F的坐标；
（2）令直线l的方程为：y=kx+2，与抛物线方程联立

y2=2x y=kx+2

消去y得，k²x²+（4k-2）x+4=0，所以有

k2≠0 (4k-2)2-16k2＞0 k＜0

解得k＜0，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则有

x1+x2= 2-4m m2 x1•x2= 4 m2

，由

OM

•

ON

=0得，x₁x₂+y₁y₂=0，从而可求满足条件的直线l的方程；
（3）所以直线l′与抛物线相切与已知直线l平行，则令l′：y=kx+b，与抛物线方程联立

y2=2x y=kx+b

，消去y得，k²x²+2（bk-1）x+b²=0，则

k≠0 △=0

⇒b=

1

2k

，进而由

y2=2x y=kx+ 1 2k

消去x得

k

2

y2-y+

1

2k

=0，即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）由题意，知p=1，所以抛物线的焦点坐标为：(

1

2

， 0)…（2分）
（2）令直线l的方程为：y=kx+2…（1分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），

y2=2x y=kx+2

消去y得，k²x²+（4k-2）x+4=0…（1分）

k2≠0 (4k-2)2-16k2＞0 k＜0

解得k＜0…①…（1分）

x1+x2= 2-4m m2 x1•x2= 4 m2

…（1分）
由

OM

•

ON

=0得，x₁x₂+y₁y₂=0
即

4

m2

+8-

8m-4

m

=0，解得m=-1满足条件①…（1分）
所以直线l的方程为：x+y-2=0…（1分）
（3）所以直线l′与抛物线相切与已知直线l平行，则令l′：y=kx+b…（1分）

y2=2x y=kx+b

…（1分）
消去y得，k²x²+2（bk-1）x+b²=0
由

k≠0 △=0

⇒b=

1

2k

…（1分）
由

y2=2x y=kx+ 1 2k

消去x得

k

2

y2-y+

1

2k

=0（k＜0）
解得y=

1

k

代入y=kx+

1

2k

得x=

1

2k2

，所以P(

1

2k2

，

1

k

)
所求的点P的坐标与直线l的斜率有关，其横坐标是直线l斜率的平方的两倍的倒数，纵坐标是直线l斜率的倒数．…（1分）

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．