题目内容

如图所示，O为坐标原点，在y轴上截距为2且斜率为k（k＜0）的直线l与抛物线y²=2x交于M、N两点
（1）求抛物线的焦点F的坐标；
（2）若 $数学公式$ • $数学公式$ =0，求直线l的方程；
（3）若点M、N将抛物线分成三段，在含有坐标原点的那一段上求一点P，使得△PMN的面积最大．

解：（1）由题意，知p=1，所以抛物线的焦点坐标为： $\text{[math]}$ …（2分）
（2）令直线l的方程为：y=kx+2…（1分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
$\text{[math]}$ 消去y得，k²x²+（4k-2）x+4=0…（1分）
$\text{[math]}$ 解得k＜0…①…（1分） $\text{[math]}$ …（1分）
由 $\text{[math]}$ 得，x₁x₂+y₁y₂=0
即 $\text{[math]}$ ，解得m=-1满足条件①…（1分）
所以直线l的方程为：x+y-2=0…（1分）
（3）所以直线l′与抛物线相切与已知直线l平行，则令l′：y=kx+b…（1分）
$\text{[math]}$ …（1分）
消去y得，k²x²+2（bk-1）x+b²=0
由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …（1分）
由 $\text{[math]}$ 消去x得 $\text{[math]}$ （k＜0）
解得 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ 得x= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
所求的点P的坐标与直线l的斜率有关，其横坐标是直线l斜率的平方的两倍的倒数，纵坐标是直线l斜率的倒数．…（1分）
分析：（1）由抛物线的标准方程可直接求出抛物线的焦点F的坐标；
（2）令直线l的方程为：y=kx+2，与抛物线方程联立 $\text{[math]}$ 消去y得，k²x²+（4k-2）x+4=0，所以有
$\text{[math]}$ 解得k＜0，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则有 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 得，x₁x₂+y₁y₂=0，从而可求满足条件的直线l的方程；
（3）所以直线l′与抛物线相切与已知直线l平行，则令l′：y=kx+b，与抛物线方程联立 $\text{[math]}$ ，消去y得，k²x²+2（bk-1）x+b²=0，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，进而由 $\text{[math]}$ 消去x得 $\text{[math]}$ ，即可求得点P的坐标．
点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．