题目内容
【题目】在四棱锥
中，平面
平面
， 
， 
， 
为
中点， 
， 
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】试题分析：
（1）由
并结合平面几何知识可得
．又由
及平面
平面
可得
平面
，于是得
，由线面垂直的判定定理可得
平面
，进而可得平面
平面
．（2）根据
，建立以
为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面
和平面
法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值．
试题解析：
（1）由条件可知， 
，
，
，
.
，且
为
中点，
.
∵
， 
， 
，
平面
.
又
平面
，
.
，
平面
.
平面
，
平面
平面
.
（2）由（1）知
，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
， 
， 
， 
，
∴
， 
， 
， 
，
设
为平面
的一个法向量，
由
，得
.
令
，得
.
同理可得平面
的一个法向量
．
∴
.
由图形知二面角
为锐角，
∴二面角
的余弦值为
.
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