Question

函数f（x）=2sin²ωx+

3

sin2ωx-1  （ω＞0）
①若对任意x∈R恒有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），求|x₁-x₂|的最小值；
②若f（x）在[0，

π

4

]上是单调函数，求整数ω的值．

Answer 1

分析：①先根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简，再由f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）可确定x₁、x₂分别是函数y=f（x）的最小值、最大值点，根据最小、最大值点间最近的距离为半个周期，得|x₁-x₂|的最小值

π

2ω

．
②将2ωx-

π

6

看做一个角θ，进而可确定θ的取值范围，再由y=2sinθ在[-

π

6

，

ωπ

2

-

π

6

]上单调得到

ωπ

2

-

π

6

≤

π

2

，即可得到ω的范围，结合ω为整数可确定最后答案．

解答：解：f（x）=2sin（2ωx-

π

6

），
①由f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）知：x₁、x₂分别是函数y=f（x）的最小值、最大值点，
最小、最大值点间最近的距离为半个周期，得

π

2ω

；
②视2ωx-

π

6

为一个角θ，则θ∈[-

π

6

，

ωπ

2

-

π

6

]，
函数y=2sinθ在[-

π

6

，

ωπ

2

-

π

6

]上单调，则

ωπ

2

-

π

6

≤

π

2

，得0＜ω≤

4

3

，
又ω为整数，∴ω=1．

点评：本题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的基本性质--单调性和周期性．考查考生对三角基础知识的理解和认识，以及综合运用能力．