Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x，
（1）写出函数f（x）的最小正周期；      
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为2sin（2x-

π

3

）+1，由此求得函数的周期．
（2）由2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递减区间．
（3）首先根据角的范围求出f（x）的最值，然后由已知条件得出f（x）-2＜m＜f（x）+2，进而推出m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，即可得出答案．

解答：解：（1）∵f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x=[1-cos（

π

2

+2x）]-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

）+1
∴函数f（x）的最小正周期T=π
（2）2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z 
解得：x∈[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z 
函数f（x）的单调递减区间[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z
（3）∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，即2≤sin（2x-

π

3

）+1≤3，
∴f（x）_max=3  f（x）_min=2．
∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2
∴m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值、周期性和求法，属于中档题．