Question

13．直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB面积为2，这样的点P共有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，求得A和B点坐标，求得丨AB丨=5，△PAB面积S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=2，解得：d=$\frac{4}{5}$，设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切，代入椭圆方程，由△=0，即可求得m的值，根据点到直线的距离公式可知：这样到直线AB的距离为$\frac{4}{5}$的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个．

解答 解：由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，
设A（4，0），B（0，3），由条件可知：
若点P到直线AB的距离为d，
那么△PAB面积S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=2，解得：d=$\frac{4}{5}$，
设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{3x+4y+m=0}\end{array}\right.$，整理得：18x²+6mx+m²-16×9=0，
由△=0，即36m²-4×18（m²-16×9）=0，整理得：m²=288，解得：m=±12$\sqrt{2}$，
∴切线方程l₁：3x+4y+12$\sqrt{2}$=0，切线方程l₂：3x+4y-12$\sqrt{2}$=0，
由直线l₁与直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1的距离d₁=$\frac{丨12\sqrt{2}+12丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{12}{5}$（$\sqrt{2}$+1）＞$\frac{4}{5}$，
同理直线l₂与直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1的距离d₂=$\frac{丨12\sqrt{2}-12丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{4}}}$=$\frac{12}{5}$（$\sqrt{2}$-1）＞$\frac{4}{5}$，
∴这样到直线AB的距离为$\frac{4}{5}$的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个，
故选D．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题，