Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的右焦点为$（\sqrt{2}，0）$，且经过点$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{7}}}{2}）$，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：AP⊥OM；
（3）试问$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由c=$\sqrt{2}$，椭圆过点$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{7}}}{2}）$，结合a、b、c的关系列出方程组，求出a²和b²即可；
（2）根据题意直线BM的斜率存在，设出BM的方程，与椭圆方程联立消去y，
求出点P的横坐标，从而求出y_P，写出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{OM}$的坐标表示，利用$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AP}$=0证明AP⊥OM；
（3）写出$\overrightarrow{OP}$的坐标表示，计算$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$即可得出结论．

解答 解：（1）由已知得c=$\sqrt{2}$①，
又$\frac{1}{{2a}^{2}}$+$\frac{7}{{4b}^{2}}$=1②，
a²=b²+c²③；
联立①②③，
解得a²=4，b²=2；
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）证明：由（1）知，A（-2，0），B（2，0），直线BM斜率显然存在，
设BM方程为y=k（x-2），则M（-2，-4k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得
（2k²+1）x²-8k²+8k²-4=0，
解得x₁=$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，x₂=2；
∴x_P=$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，
∴y_P=k（x_P-2）=$\frac{-4k}{{2k}^{2}+1}$，
即P（$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，$\frac{-4k}{{2k}^{2}+1}$）；
又$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{{8k}^{2}}{{2k}^{2}+1}$，$\frac{-4k}{{2k}^{2}+1}$），
$\overrightarrow{OM}$=（-2，-4k）；
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AP}$=$\frac{-1{6k}^{2}}{{2k}^{2}+1}$+$\frac{1{6k}^{2}}{{2k}^{2}+1}$=0，
∴$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AP}$，即AP⊥OM；
（3）∵$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，$\frac{-4k}{{2k}^{2}+1}$），
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{-2（{4k}^{2}-2）}{{2k}^{2}+1}$+$\frac{（-4k）（-4k）}{{2k}^{2}+1}$=$\frac{{8k}^{2}+4}{{2k}^{2}+1}$=4；
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$为定值4．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程根与系数的关系以及向量垂直的数量积关系，也考查了推理与计算能力，是难题．