Question

【题目】在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.

（1）若，，求；

（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；

（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线：上时，位置向量终点总在抛物线：上，曲线和关于直线对称，问直线与向量满足什么关系？

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明 （3）直线与向量垂直

【解析】

（1）根据题意，算出7，10，代入的表达式并化简整理，即可得到（，）；（2）设（x'，y'），终点在直线Ax+By+C＝0上，由题中的表达式解出（x，y）满足的关系式，从而得到点（，）在直线Ax+By+C＝0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C＝0，说明向量的终点也在一条直线上；（3）设，则，取，解出关于和t的坐标形式，结合的终点在抛物线x2＝y上且终点在抛物线y2＝x上，建立关于和t的方程，化简整理得到±（，）．再由曲线C和C′关于直线l：y＝x对称，算出l的方向向量满足0，从而得到直线l与向量垂直．

（1）根据题意，7，10，∴.

（2）设，，则

，

∴

于是故，

从而，

由于、不全为零，所以，也不全为零.

于是的终点在直线上.

（3）设，则，对任意实数，取，

则

，

∵的终点在曲线上，

∴.①

由于为任意实数，比较①式两边的系数得

，，，

从而，，

∴.

对曲线中任意点，可知落在曲线上，反之亦然，故曲线：与曲线：关于直线：对称，

的方向向量，∵，∴，即直线与向量垂直.