Question

15．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程y=$\sqrt{2}$x，原点到过A（a，0）、B（0，-b）点直线l的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求双曲线方程；
（2）过点Q（1，1）能否作直线m，使m与已知双曲线交于两点P₁，P₂，且Q是线段P₁P₂的中点？若存在，请求出其方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用原点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，①双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程y=$\sqrt{2}$x，可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，②由①②可得a=1，b=$\sqrt{2}$，即可求双曲线方程；
（2）假设直线l存在．由已知条件利用点差法求出直线l的方程为2x-y-1=0，联立方程组，得2x²-4x+3=0，由△-8＜0，推导出直线l不存在．

解答 解：（1）∵直线l过A（a，0）、B（0，-b）两点，
∴方程为bx-ay-ab=0．
∵原点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，①
∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程y=$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，②
由①②可得a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴双曲线方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）假设直线l存在．
设Q是线段P₁P₂的中点，
且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∵P₁，P₂在双曲线上，
∴代入作差，整理可得2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=2，
∴直线l的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
联立方程组，得2x²-4x+3=0
∵△=16-4×3×2=-8＜0，
∴直线l与双曲线无交点，
∴直线l不存在

点评 本题考查了双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查了计算能力，注意点差法和根的判别式的合理运用，属于中档题．