Question

20．已知函数$f（x）=\frac{2x+b}{{1+{x^2}}}$是定义在（m，1）上的奇函数（a，b，m为常数）．
（1）确定函数f（x）的解析式及定义域；
（2）判断并利用定义证明f（x）在（m，1）上的单调性；
（3）若对任意t∈[-2，2]，是否存在实数x使f（tx-2）+f（x）＜0恒成立？若存在，则求出实数x的取值范围，若不存在则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义求得m值，再由f（0）=0求得b，利用奇函数定义验证后得答案；
（2）直接利用函数的单调性定义证明；
（3）由函数的单调性和奇偶性把f（tx-2）+f（x）＜0恒成立转化为对任意的t∈[-2，2]，恒有：$\left\{\begin{array}{l}{-1＜xt-2＜1}\\{xt+x-2＜0}\end{array}\right.$，分别更换主元后求解x的范围，取交集得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在（m，1）上的奇函数，
∴m=-1．
由f（0）=0，得b=0．
即f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，定义域为（-1，1）．
验证有f（-x）=$\frac{-2x}{1+（-x）^{2}}=-\frac{2x}{1+{x}^{2}}=-f（x）$，
∴f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，定义域为（-1，1）；
（2）判定：函数f（x）在（-1，1）上单调递增．
证明：任取实数x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＞x₂，则
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}-\frac{2{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$．
∵-1＜x₂＜x₁＜1，
∴x₁-x₂＞0，1-x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增；
（3）∵函数f（x）定义域为（-1，1），
∴对任意的t∈[-2，2]，若f（tx-2）+f（x）＜0恒成立，
则f（tx-2）＜-f（x）=f（-x），
即对任意的t∈[-2，2]，恒有：
$\left\{\begin{array}{l}{-1＜xt-2＜1}\\{xt+x-2＜0}\end{array}\right.$，
由-1＜xt-2＜1成立，得
$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜-2x-2＜1}\\{-1＜2x-2＜1}\end{array}}\right.$，解得$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$．
由xt+x-2＜0，得
$\left\{\begin{array}{l}{-2x+x-2＜0}\\{2x+x-2＜0}\end{array}\right.$，解得-2$＜x＜\frac{2}{3}$．
取交集得：$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$．
∴对任意t∈[-2，2]，存在实数x∈（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），使f（tx-2）+f（x）＜0恒成立．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了函数单调性与奇偶性的性质，训练了恒成立问题的解决方法，是中档题．