Question

10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x+1．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）画出f（x）的图象；
（3）根据图象指出函数f（x）的值域和单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质求出x≤0时的解析式，
（2）利用图象变换规律作图；
（3）根据图象直接写答案．

解答 解：（1）当x=0时，f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，∴f（-x）=（$\frac{1}{3}$）^-x+1，∴f（x）=-f（-x）=-（$\frac{1}{3}$）^-x-1=-3^x-1．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{3}）^{x}+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{3}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）作出函数图象如图，

（3）函数f（x）的值域是（-2，-1）∪（1，2）∪{0}．
f（x）的单调减区间是（-∞，0），（0，+∞）．

点评 本题考查了奇函数的性质及图象变换，是中档题．