Question

【题目】已知函数，其中为常数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增；在上单调递减.

（2）.

【解析】试题分析：（1）由题.分别讨论当，，三种情况下的单调性；

（2）∵，

∴在上的最大值等价于在上的最大值，

，记为，

∴， 讨论的性质，可求的最大值.

试题解析：（1）对求导，得.

①当，即时，

或时，，单增，

时，，单减；

②当时，即时，，在上单增；

③当时，即时，

或时，在，上单增，

时，，在上单减.

综上所述，当时，在上单调递增；在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增；在上单调递减.

（Ⅱ）∵，

∴在上的最大值等价于在上的最大值，

，记为，

∴，

由（Ⅰ）可知时，在上单减，，

∴，从而在上单减，

∵，∴在上单增，

∴，

∴的最大值为.