Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在区间上无零点，求实数的最小值；

（2）若对任意给定的，在上方程总存在不等的实根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：求得，分别研究函数，讨论当时，时，的情况即可得到实数的最小值；求出，根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出的值域，方程等价于，求出的取值范围，再根据，即可求得结果

解析：（1）令，则

①当时，在上为增函数，在上为增函数

若在上无零点，则，即

解得，∴.

②当时，在上，，∴，

∴在上无零点.

由①②得，即实数的最小值为

（2）

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

又∵

∴函数在的值域为.

方程等价于.

∴

又∵，∴，∴.

综上所述，的取值范围是.

点睛:本题考查了函数的零点问题及结合等式求出参量的范围，在解答零点问题时需要进行分类讨论，求得最小值，在由等式求参量范围时先求出值域，转化为最值问题，从而求解，转化是本题的关键。