Question

6．已知数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=$\frac{2n+2}{n}$a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由条件可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=2$•\frac{{a}_{n}}{n}$，由等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得通项a_n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到

解答 解：（1）证明：a₁=1，a_n+1=$\frac{2n+2}{n}$a_n，
可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=2$•\frac{{a}_{n}}{n}$，
即有数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=2^n-1，
即有a_n=n•2^n-1，
和S_n=1•1+2•2+3•4+…+n•2^n-1，
2S_n=1•2+2•4+3•8+…+n•2ⁿ，
两式相减可得，-S_n=1+2+4+8+16+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
化简可得，前n项的和S_n=1+（n-1）•2ⁿ．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．