Question

16．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥2（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）

Answer 1

分析 通过基本不等式$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$可知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4•$\frac{1}{a+b}$，利用对称性相加即得结论．

解答 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4•$\frac{1}{a+b}$，
同理可知$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥4•$\frac{1}{b+c}$，
$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$≥4•$\frac{1}{c+a}$，
三式相加可知：2（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）≥4（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$），
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥2（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）．

点评 本题考查不等式的证明，利用基本不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．