Question

11．如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心的割线且交圆O于B点，过B作⊙O的切线交CD于点E，DE=$\frac{1}{2}$EC．求证：
（1）CA=3CB；
（2）CA=$\sqrt{3}$CD．

Answer 1

分析 （1）由切割线定理可得CD²=CA•CB，连接OD，根据切线的性质及切线长定理可得OD⊥CD，BE=ED，结合已知中DE=$\frac{1}{2}$EC，易得∠C=30°，进而可得CA=3CB；
（2）将CA=3CB代入CD²=CA•CB，化简可得：CA=$\sqrt{3}$CD．

解答 证明：（1）∵CD是圆O的切线，
∴CD²=CA•CB，
连结OD，则OD⊥CD，

∵BE是圆O的切线，
∴BE=ED，
又$DE=\frac{1}{2}EC$，
∴$BE=\frac{1}{2}EC$，
∴∠C=30°，
则$OD=\frac{1}{2}OC$，
而OB=OD，
∴CB=BO=OD=OA，
∴CA=3CB，…（5分）
（2）将CA=3CB代入CD²=CA•CB得$C{D^2}=CA•\frac{1}{3}CA$，
故$CA=\sqrt{3}CD$．…（10分）

点评 本题考查的知识点是切割线定理，切线长定理，切线的性质，是与圆有关比例线段的综合应用，难度中档．