Question

已知).

（1）若时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（3）令是否存在实数，当是自然对数的底）时，函数的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在实数，使在上的最小值是.

【解析】

试题分析：（1）当时， ，求其在切点处的导函数值，得到切线斜率，由点斜式即得所求；

（2）函数在上是减函数，转化成在上恒成立；

令，解即得；

（3）假设存在实数，使在上的最小值是，根据，

讨论当、 、等三种情况时，令，求解即得.

（1）当时， 1分

,函数在点处的切线方程为 3分

（2）函数在上是减函数

在上恒成立 4分

令，有得 6分

7分

（3）假设存在实数，使在上的最小值是3

8分

当时，，在上单调递减，

（舍去) 10分

当且时，即，在上恒成立，在上单调递减，（舍去) 11分

当且时，即时，令，得；，得

在上单调递减，在上单调递增

，满足条件 13分

综上所述，存在实数，使在上的最小值是. 14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，导数的几何意义，不等式恒成立问题，转化与化归思想，分类讨论思想.