Question

【题目】【题目】已知抛物线的焦点曲线的一个焦点， 为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

Answer 1

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线化为标准方程，可求得的焦点坐标分别为，可得，所以，即抛物线的方程为；（Ⅱ）结合（Ⅰ），可设，得，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点.

试题解析：（Ⅰ）由曲线，化为标准方程可得， 所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故， 的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，所以，即抛物线的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的准线方程为，设，显然.故，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得

①当，即时，直线的方程为，

②当，即时，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点， 也在直线的方程为上，故直线的方程恒过定点.