题目内容

已知锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
m
=（2sinB，
3
），
n
=（2cos2
B
2
-1，cos2B），且
m
⊥
n
．
（1）求B的大小；
（2）若sinA，sinB，sinC成等差数列，且
BA
•（
AC
-
AB
）=18，求b的值．
分析：（1）把向量
n
的坐标利用二倍角的余弦函数公式化简，再由
m
⊥
n
，得到其数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B为锐角，得到这个角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由sinA，sinB，sinC成等差数列，根据等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，得到2b=a+b，再利用平面向量的数量积运算法则化简
BA
•（
AC
-
AB
）=18，把cosB的值代入得到ac的值，利用余弦定理得：b2=a2+c2-2ac•cosB，把cosB及ac的值代入，配方后将a+c换为2b，得到关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．
解答：解：（1）∵向量
m
=（2sinB，
3
），
n
=（2cos2
B
2
-1，cos2B）=（cosB，cos2B），且
m
⊥
n
．
∴
m
•
n
=0，即2sinBcosB+
3
cos2B=sin2B+
3
cos2B=2sin（2B+
π
3
）=0，…（4分）
又∵0＜B＜
π
2
，∴2B+
π
3
=π，
∴B=
π
3
；…（6分）
（2）由sinA，sinB，sinC成等差数列得：2sinB=sinA+sinC，
由正弦定理得：2b=a+c，
∵
BA
•（
AC
-
AB
）=18，∴
BA
•
BC
=18，
即ac•cosB=18，可得ac=36，
由余弦弦定理得：b2=a2+c2-2ac•cosB=（a+c）2-3ac，
∴b2=4b2-3×36，即b2=36，
∴b=6．…（12分）
点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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相关题目
（2009•杭州二模）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）若3k=
2ac
a2+c2-b2
，求cos2
A+C
2
+sin2B的值；
（2）若k=2，记∠xOA=α(0＜α＜
π
2
)，∠xOB=β(π＜β＜
3π
2
)，求sin(α+β)的值．
（2012•安徽模拟）给出下列命题，其中正确的命题是
①③④
①③④
（写出所有正确命题的编号）．
①非零向量
a
、
b
满足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|，则
a
与
a
+
b
的夹角为30°；
②已知非零向量
a
、
b
，则“
a
•
b
＞0”是“
a
、
b
的夹角为锐角”的充要条件；
③命题“在三棱锥O-ABC中，已知
OP
=x
OA
+y
OB
-2
OC
，若点P在△ABC所在的平面内，则x+y=3”的否命题为真命题；
④若(
AB
+
AC
)•(
AB
-
AC
)=0，则△ABC为等腰三角形．
已知函数f(x)=2sin(x-
π
3
)cosx+sinxcosx+
3
sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，B为锐角，且f(B)=
3
，AC=4
3
，D是BC边上一点，AB=AD，试求AD+DC的最大值．

给出下列命题：

(1)α、β是锐角△ABC的两个内角，则sinα＜sinβ；

(2)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围为()；

(3)已知与为互相垂直的单位向量，＝－2，＝＋λ且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是；

(4)已知O是△ABC所在平面内定点，若P是△ABC的内心，则有＝＋λ()，λ∈R；

(5)直线x＝－是函数y＝sin(2x－)图象的一条对称轴．

其中正确命题是

[　　]

A．(1)(3)(5)

B．(2)(4)(5)

C．(2)(3)(4)

D．(1)(4)(5)

己知在锐角ΔABC中，角所对的边分别为，且

(I )求角大小；

(II)当时，求的取值范围.

20．如图1，在平面内，是的矩形，是正三角形，将沿折起，使如图2，为的中点，设直线过点且垂直于矩形所在平面，点是直线上的一个动点，且与点位于平面的同侧。

（1）求证：平面；

（2）设二面角的平面角为，若，求线段长的取值范围。

 


21.已知A，B是椭圆的左，右顶点，，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列,R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点

(1)求椭圆C的方程；

（2）求三角形MNT的面积的最大值

22. 已知函数 ，

（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。

（Ⅱ）若为奇函数：

（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围.

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