Question

设函数f（x）=|x-

4

m

|+|x+m|（m＞0）
（1）证明：f（x）≥4；
（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．
（Ⅱ）分当

4

m

＜2时和当

4

m

≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x-

4

m

|+|x+m|≥|-（x-

4

m

）+x+m|=

4

m

+m≥4，
当且仅当

4

m

=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．
（Ⅱ）f（2）=|2-

4

m

|+|2+m|．
当

4

m

＜2，即m＞2时，f（2）=m-

4

m

+4，由f（2）＞5，求得m＞

1+ 17

2

．
当

4

m

≥2，即0＜m≤2时，f（2）=

4

m

+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．
综上，m的取值范围是（0，1）∪（

1+ 17

2

，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．